符号积分

oCAS 通过分层管线进行积分：快速启发式表、有理函数积分器、初等塔上的 Risch 算法、三角到指数的重写，最后是特殊函数表。第一个产生答案的层获胜。本章解释每一层以及何时返回未求值形式 Integral(expr, var)。

管线

integrate(expr, var) 按顺序尝试：

快速表 —— 结构内联的幂法则（$x^n$、$(ax+b)^n$，含分数指数）、线性参数 sin/cos/exp 的替换、以及 log(x) 等直接表项。快速且总是最先尝试。
有理函数积分器 —— Hermite 约化加对数部分（对数导数恒等式、配方、Rothstein–Trager）。处理 x 的任意有理函数。
符号常数有理积分器（0.27）—— 系数在 ℚ(symbols) 中的有理函数： Yun 无平方分解 + Hermite + 部分分式（线性留数、二次因子的 log/atan/atanh）。
Risch 算法 —— 由 log 和 exp 构建的初等超越塔（塔深受 MAX_RISCH_DEPTH = 16 上限约束）。
三角重写 —— sin/cos/tan/… 重写为 exp(I·x) 后由 Risch 积分，再尽力转换回实数形式。
特殊函数表 —— 具有 erf、Ei、Si、Ci、Fresnel S/C 等闭式的非初等积分。
规则表引擎（0.27）—— 自研标准微积分规则（A–H 族：幂/二项式、指数/对数、三角、双曲、反三角/反双曲、有理拦截、根式、特殊形态），模板可含残项 Integral(g, x) 归约。可用 IntegrateOptions { rules: false } 关闭。
三角积化和差/降幂（0.27.x）—— 线性变元 sin/cos 乘积与幂化为多倍角和式后逐项积分。
多根式基归约（0.30.0）—— 含两个及以上不同根式基的被积函数在原子层有理化（MR-L 双仿射基 Möbius 有理化、带门同根合并、共轭/倒数/嵌套去根代换、完全平方片层因子）。该阶段在链中位于 binomial 之后、 exp_log 之前，单基引擎因此保持对单基形状的先占权；片段之外诚实拒绝。
反函数代换（0.30.0）—— inverse_trig 分派序末的 M4 机制： u = F(w) 覆盖 11 个头（asin/acos/atan/asinh/acosh/atanh 以及 acsc/asec/acoth/asech/acsch）× 仿射变元 × 整数核幂 × 多项式权，伴随根式吸收为片层因子。
启发式技巧 —— 分部积分、三角替换、Weierstrass $t = \tan(x/2)$、 Euler 替换。
有界展开重试（0.27.x）—— 分配展开乘积为和式（项数预算 64）后逐项积分。
未求值形式 —— Integral(expr, var)。

有理函数

积分变量的任意有理函数都被精确积分。多项式部分逐项积分；真分式由 Hermite 约化分解为有理部分加分母无平方的剩余；剩余部分产生对数（经恒等式 c·f'/f → c·log(f)）、反正切（二次分母配方）或 Rothstein–Trager 对数。

#![allow(unused)]
fn main() {
use ocas::prelude::*;
use ocas_core::arena::Arena;

let arena = Arena::new();
let ctx = AtomArena::new(&arena);
let expr = parse(&ctx, "(2*x + 3)/(x^2 + 3*x + 5)").unwrap();
let result = integrate(&ctx, expr, Symbol::new("x"));
// log(x^2 + 3*x + 5)
}

Risch 算法

初等超越被积函数通过构建微分域塔 ℚ(x, t₁, …, tₙ) 处理，其中每个 tᵢ 是下层域上的 log 或 exp，然后递归积分（Bronstein 《Symbolic Integration I》第 5 章）：

每层由 Hermite 约化分出有理部分（超指数层的 t 幂分母先按 Laurent 多项式拆出，0.29.0）；
对数部分先试对数导数恒等式（快路径），未命中则走 Rothstein–Trager 结式方法：0.29.0 只判定 ℚ 根，0.30.0 增加代数 常量根（基层实/复二次因子与双二次四次因子 Az⁴+Bz²+C，塔层复二次因子，均在扩域内自证）；非常量根与更高次因子仍然诚实拒绝；
多项式部分在 log 层用待定系数、在 exp 层用 Risch 微分方程 Dq + f·q = g 积分——0.29.0 起在完整有理片段上求解（弱规范化、分母界、次数界、SPDE、抵消递归）；
基域 ℚ(x) 委托给有理函数积分器。

塔递归深度受 MAX_RISCH_DEPTH = 16 上限约束：超过该深度时 Risch 层直接放弃，把被积函数交给下一层（防止病态被积函数造成无限递归）。

#![allow(unused)]
fn main() {
use ocas::prelude::*;
use ocas_core::arena::Arena;

let arena = Arena::new();
let ctx = AtomArena::new(&arena);
// ∫ x·exp(x) dx = (x - 1)·exp(x)
let result = integrate(&ctx, parse(&ctx, "x*exp(x)").unwrap(), Symbol::new("x"));
}

0.29.0 起 Risch 微分方程在完整有理片段上求解（含分母界），对数部分用 Rothstein–Trager 的 ℚ 根判定；0.30.0 再由其代数常量根 片段（二次因子与双二次四次因子，扩域内自证）扩展该对数部分。片段之外 ——非常量根、次数 ≥ 3 或非双二次四次的因子、混合扩域，以及未移植的 limited_integrate / 高层 parametric_log_deriv 改进——一律诚实回退。因此：

∫ exp(x)/x dx 没有初等原函数 —— 由特殊函数表回答为 Ei(x)。
某些需要自由选择常数使下层可积的 log 塔情形（如 log(x+1)）尚未判定，走回退。

当所有层都失败时，结果是未求值形式 Integral(expr, var)——这是有意的答案，而非错误。

三角被积函数

sin、cos、tan、cot、sec、csc 经 t = exp(I·x) 重写为复指数后由 Risch 积分。虚数单位作为常数塔生成元携带（D I = 0）。结果在可能时转换回实数形式：共轭对数对合并为实 log/atan 项。

Risch 微分方程求解器目前在 ℚ[x] 上工作，因此系数含 I 的超指数方程（如 sin(x)·cos(x) 或 cos(x)² 产生的方程）尚不能求解；这些被积函数返回未求值形式。线性参数的简单 sin/cos 由启发式表覆盖。

特殊函数

没有初等原函数但有标准闭式的积分直接回答（定义与 SymPy 一致）：

被积函数	结果
`exp(-x²)`	`(√π/2)·erf(x)`
`exp(x²)`	`(√π/2)·erfi(x)`
`exp(c·x²)`，`c < 0`	`√π/(2√(-c))·erf(√(-c)·x)`
`exp(x)/x`	`Ei(x)`
`sin(x)/x`	`Si(x)`
`cos(x)/x`	`Ci(x)`
`sinh(x)/x`	`Shi(x)`
`cosh(x)/x`	`Chi(x)`
`sin(x²)`	`√(π/2)·fresnels(√(2/π)·x)`
`cos(x²)`	`√(π/2)·fresnelc(√(2/π)·x)`

#![allow(unused)]
fn main() {
use ocas::prelude::*;
use ocas_core::arena::Arena;

let arena = Arena::new();
let ctx = AtomArena::new(&arena);
// ∫ exp(-x^2) dx = (√π/2)·erf(x)
let result = integrate(&ctx, parse(&ctx, "exp(-x^2)").unwrap(), Symbol::new("x"));
}

Fuel 受限积分

integrate_with_fuel 包装同一管线，但将 [Fuel] 预算贯穿到两个积分后化简阶段。病态结果（否则会导致重写器无限循环）可被确定性地截断。

#![allow(unused)]
fn main() {
use ocas_core::arena::Arena;
use ocas_core::fuel::Fuel;
use ocas_atom::{AtomArena, Symbol};
use ocas_calc::integral::integrate_with_fuel;

let arena = Arena::new();
let ctx = AtomArena::new(&arena);
let expr = ctx.var("x");
let fuel = Fuel::new(500);
let result = integrate_with_fuel(&ctx, expr, Symbol::new("x"), &fuel);
match result {
    Ok(r) => println!("{}", r),
    Err(_) => println!("fuel exhausted during simplification"),
}
}

仅在化简中途 fuel 耗尽时返回 Err。积分遍历本身使用内部深度限制； fuel 仅约束化简后的传递。

绑定

同一管线支撑 Python 与 C API：

Python：Expression.integrate(var)
C：ocas_expr_integrate(...)

找不到闭式时两者都返回未求值形式 Integral(...)，与 Rust API 一致。两者都不认证结果；需要可机检证书时用 Expression.integrate_outcome （Python）或 ocas_expr_integrate_outcome（C）。

0.28.0：证书、循环检测与残项解析

符号证书与三值输出

integrate_outcome（Rust/Python/C 均已暴露）返回三值之一：

取值	含义
`Found { value, certificate }`	原函数 + 可机检的符号证书（精确检查器中 `D(F) − f ≡ 0`）
`ProvedNonElementary { witness }`	已证明非初等（0.28.0 无生产者，为后续非初等层预留）
`Unknown { residue, uncertified }`	诚实未知：`residue` 是未求值 `Integral(f, x)`；`uncertified` 是管线候选（不是答案，仅供诊断）

证书引擎（ocas-calc/src/integral/certify.rs）分层判定：结构零（normalize + 同类项收集）、初等域零（三角→指数、I² = −1 约化、依赖 exp/log 原子合并后嵌入有理函数域）、根式层 （0.30.0 已落地：CertMethod::RadicalField——把 sqrt(S) 与 S^(p/q) 统一为生成元 r 与关系 r^q = S，以三角列余式约化判零；确定性预算 q ≤ 8、根式 ≤ 8、项 ≤ 8192、节点 ≤ 2000、入口项 ≤ 2048）。各层都是可靠的：把原子当作独立生成元只会漏判（假阴性），不会把错误答案判成正确。域运算有确定性预算，超预算即诚实拒绝。

ocas-calc/src/integral/risch.rs 还会在塔自身的域里校验每个 Risch 结果，因此引擎不会发射被精确检查器证伪的答案——0.28.0 正是靠这条护栏抓到并兜住一个潜伏错案（指数层有理部分对负幂次系数的错误缩放）。

表达式级循环检测与残项解析

链入口（integral/chain.rs）按「表达式地址 + rule_depth + parts_depth」判环：预算递减的同形状重入是流水线合法的递归下降，必须放行；只有预算相同的重复才是真循环。绝对条目兜底保持 0.27.3 的 256，残项解析的嵌套重入走独立预算，不与主链争用。

若干阶段会返回部分结果（分式分解已完成、剩下的 Integral(...) 本身可解）。顶层入口在链条结束后会做一次预算化的残项解析：只处理「有理形状、≤2 个符号、≤64 节点」的残项，并且只在残项数 严格减少时接受解析结果。纯回退 Integral(f, x) 永远不解析（否则会重跑整条链，并在 rules = false 时违反调用方意图）。

依赖生成元合并（正则塔）

ocas-calc/src/tower/merge.rs 用精确域恒等式合并代数相关生成元：exp(u)/exp(u+c)、 exp(u)/exp(−u)、log(u)/log(cu)、log(u)/log(u^k)、log(exp(u))、exp(log(u))，必要时登记常量生成元（log(2)、exp(1)，D t = 0）。塔现在返回重写后的被积表达式， risch 在其中工作；判定不了的关系仍然诚实拒绝。

oCAS — 开源计算机代数系统