自动微分

oCAS 通过超对偶数提供前向自动微分。这与符号微分（diff）不同：自 动微分在求函数值的同时数值计算导数，无需构建或化简表达式树。

超对偶数

超对偶数将标量域扩展出无穷小分量 ε₁, ε₂, …，满足 εᵢ² = 0。对这些 数的算术运算会精确传播一阶（以及可选的更高阶）偏导数。

oCAS 用 HyperDual<T> 表示超对偶数，其中 T 是实现 DualCoeff trait 的系数类型。实践中 T 通常是 Rational（标准构建中唯一完整实现 DualCoeff 的类型）。

快速上手

#![allow(unused)]
fn main() {
use ocas_domain::Rational;
use ocas_domain::dual::{new_first_order, HyperDual};

// 2 个变量的一阶对偶数
let shape = new_first_order::<Rational>(2);

// x = 1 + ε₁（变量 0，单位系数）
let x = HyperDual::variable(&shape, 0, Rational::new(1, 1));
// y = 2 + ε₂（变量 1，单位系数）
let y = HyperDual::variable(&shape, 1, Rational::new(2, 1));

// f = x * y → 值 = 2，∂f/∂x = 2，∂f/∂y = 1
let f = x * y;
println!("f    = {}", f.value());           // 2
println!("df/dx = {}", f.deriv(0).unwrap()); // 2
println!("df/dy = {}", f.deriv(1).unwrap()); // 1
}

支持的运算

HyperDual<T> 支持标准算术 trait（Add、Sub、Mul、Div、Neg）。 每个运算通过 DualShape 中预计算的乘法表传播导数。

对超越函数，可回退到符号微分（diff）或将表达式编译为带自动微分支 持的数值求值器（计划在 1.0 之后实现）。

高阶导数

DualShape 支持多指标分组以计算高阶导数（如二阶 εᵢεⱼ 分量）。可使 用 DualShape::new 传入嵌套索引向量来自定义形状，或使用一阶便捷函数 处理常见场景。

Python 与 C 用法

Python

from ocas import DualShape, HyperDual

shape = DualShape.first_order(2)
x = HyperDual.variable(shape, 0, 1)
y = HyperDual.variable(shape, 1, 2)

f = x * y
print(f.value())    # 2
print(f.deriv(0))   # 2  (∂f/∂x)
print(f.deriv(1))   # 1  (∂f/∂y)

# dunder 方法：__add__、__sub__、__mul__、__truediv__、__neg__
g = x + y * x
print(g.deriv(0))   # 3  (1 + y = 1 + 2)

C

#include <ocas.h>

int err = 0;
struct ocas_OcasDualShape *shape = ocas_dual_shape_new(2, &err);
struct ocas_OcasHyperDual *x = ocas_dual_variable(shape, 0, "1", &err);
struct ocas_OcasHyperDual *y = ocas_dual_variable(shape, 1, "2", &err);

struct ocas_OcasHyperDual *f = ocas_dual_mul(x, y, &err);
char *val = ocas_dual_value(f, &err);    /* "2" */
char *dx  = ocas_dual_deriv(f, 0, &err); /* "2" */

ocas_string_free(val);
ocas_string_free(dx);
ocas_hyperdual_free(f);
ocas_hyperdual_free(y);
ocas_hyperdual_free(x);
ocas_dual_shape_free(shape);

完整的绑定文档见 Python API 和 C/C++ API 章节。

限制

• 标准构建仅支持 Rational 系数（尚不支持浮点或有限域对偶数）。
• 超越函数（sin、cos、exp、log、pow）尚不可用于 HyperDual。
• 对偶表达式的 JIT 编译尚未集成。