求解器

oCAS 提供线性方程组、丢番图方程与多项式系统的求解器。本章介绍所有可用求解器及其用法。

ℚ 上的线性方程组

solve_linear_rational 在有理数域上求解 $n \times n$ 系统 $Ax = b$。 输入系数为 i64 值；解以 (分子, 分母) 对返回。

#![allow(unused)]
fn main() {
let a = vec![vec![2, 1], vec![1, -1]];
let b = vec![5, 1];
let x = solve_linear_rational(&a, &b).unwrap();
// x = [(2, 1), (1, 1)]  → 2, 1
}

错误：EmptySystem、NonSquare、Inconsistent、Underdetermined { rank }。

Python：

print(ocas.solve_linear_rational([[2, 1], [1, -1]], [5, 1]))
# [(2, 1), (1, 1)]

ℤ 上的线性方程组

solve_linear_integer 求 $Ax = b$ 的整数解。若无整数解则返回错误。

#![allow(unused)]
fn main() {
// 2x + y = 3
let a = vec![vec![2, 1]];
let b = vec![3];
let x = solve_linear_integer(&a, &b).unwrap();
// x = [1, 1]  (2·1 + 1·1 = 3)
}

当解含分数时返回 ResultNotInDomain 错误。

丢番图方程

solve_diophantine 求解线性丢番图方程 $a \cdot x + b \cdot y = c$ 的整数解 $x, y$。

#![allow(unused)]
fn main() {
let sol = solve_diophantine(3, 5, 1).unwrap();
// sol = DiophantineSolution { x0: 2, y0: -1, x_step: 5, y_step: -3 }
}

结果给出特解 $(x_0, y_0)$ 和步长值。通解为：

$$ \begin{aligned} x &= x_0 + x_{step} \cdot t \ y &= y_0 + y_{step} \cdot t \end{aligned} $$

其中 $t$ 为任意整数。

多项式系统（基于 Gröbner 基）

solve_polynomial_system 求解多项式方程组：内部先计算 Gröbner 基 （默认 F4，可通过 Algorithm 选择 Buchberger/F4/F5），对零维理想再做 Sturm 实根隔离与回代。

#![allow(unused)]
fn main() {
use ocas_domain::{Rational, RationalDomain};
use ocas_poly::groebner::Algorithm;
use ocas_poly::ideal::solve_polynomial_system;
use ocas_poly::sparse::{Lex, SparseMultivariatePolynomial};

let d = RationalDomain;
// x + y = 0, x*y - 1 = 0
let eq1 = SparseMultivariatePolynomial::<_, Lex>::from_terms(d, 2, vec![
    (vec![1, 0], Rational::new(1, 1)),
    (vec![0, 1], Rational::new(1, 1)),
]);
let eq2 = SparseMultivariatePolynomial::<_, Lex>::from_terms(d, 2, vec![
    (vec![1, 1], Rational::new(1, 1)),
    (vec![0, 0], Rational::new(-1, 1)),
]);

let sol = solve_polynomial_system(&[eq1, eq2], Algorithm::Auto);
}

结果为 PolynomialSystemSolution：零维时包含实数解列表 （ZeroDimSolutions），正维时返回 Gröbner 基（PositiveDimensional）， 无解时为 Empty。

理想运算（0.23.0 起）

理想运算由 ocas_poly::ideal 与 ocas_poly::groebner 模块提供：

运算函数描述
成员判定ideal_contains(gens, f, algo)测试 $f \in I$
和ideal_sum(I, J)$I + J$
积ideal_product(I, J)$I \cdot J$
商ideal_quotient(I, J)$I : J$
饱和ideal_saturate(I, J)$I : J^\infty$
交集ideal_intersection(I, J)$I \cap J$
消元eliminate(gens, elim_vars, algo)（ocas_poly::groebner）消去变量
根式ideal_radical(gens)$\sqrt{I}$
准素分解primary_decomposition(gens)分解为准素分量
Hilbert 级数hilbert_series(&gb)（ocas_poly::groebner::hilbert）计算 Hilbert 级数
#![allow(unused)]
fn main() {
use ocas_domain::{Rational, RationalDomain};
use ocas_poly::groebner::Algorithm;
use ocas_poly::ideal::*;
use ocas_poly::sparse::{Lex, SparseMultivariatePolynomial};

let d = RationalDomain;
let circle = SparseMultivariatePolynomial::<_, Lex>::from_terms(d, 2, vec![
    (vec![2, 0], Rational::new(1, 1)),
    (vec![0, 2], Rational::new(1, 1)),
    (vec![0, 0], Rational::new(-1, 1)),
]);
let line = SparseMultivariatePolynomial::<_, Lex>::from_terms(d, 2, vec![
    (vec![1, 0], Rational::new(1, 1)),
    (vec![0, 1], Rational::new(-1, 1)),
]);

// 求解圆 ∩ 直线
let sol = solve_polynomial_system(&[circle, line], Algorithm::Auto);
}

常微分方程

dsolve 解析求解常微分方程。方程以等于零的表达式、未知函数 （如 y(x)）与自变量（如 x）给出。

#![allow(unused)]
fn main() {
let arena = Arena::new();
let ctx = AtomArena::new(&arena);
let x = ctx.var("x");
let y = ctx.fun("y", &[x]);
let dy = ctx.fun("Derivative", &[y, x]);
// y' - y = 0
let ode = ODE {
    equation: ctx.add(&[dy, ctx.mul(&[ctx.num(-1), y])]),
    func: y,
    var: Symbol::new("x"),
};
let sol = dsolve(&ctx, ode, None);
// ODESolution::Explicit(C1*exp(x))
}

classify_ode 只返回可用的求解方法而不求解：

#![allow(unused)]
fn main() {
let types = classify_ode(&ctx, ode);
// [LinearFirst, Separable, Homogeneous, PowerSeries]
}

支持的 ODE 类型

类型形式方法
可分离$f(x)dx = g(y)dy$直接积分
一阶线性$y' + p(x)y = q(x)$积分因子 $\mu = e^{\int p}$
Bernoulli$y' + p(x)y = q(x)y^n$替换 $v = y^{1-n}$
恰当$M dx + N dy = 0$，$\partial M/\partial y = \partial N/\partial x$势函数
齐次$y' = f(y/x)$替换 $v = y/x$
积分因子非恰当一阶$\mu(x)$ 或 $\mu(y)$ 检测
常系数$ay'' + by' + cy = f(x)$特征方程
Cauchy-Euler$ax^2y'' + bxy' + cy = f(x)$指标方程
降阶法二阶线性$y_2 = y_1\int e^{-\int p}/y_1^2$
常数变易法二阶非齐次Wronskian 公式
待定系数法多项式/指数/三角 forcing系数匹配 + 共振
幂级数常点系数递推
Frobenius正则奇点指标方程 + 递推
Laplace IVP一阶/二阶线性初值问题dsolve_ivp
2×2 系统$\mathbf{Y}' = A\mathbf{Y}$dsolve_system（特征分解）

无法解析求解的 ODE 返回未求值的 ODE(equation, func) 形式。

初值问题

dsolve_ivp 通过 Laplace 变换求解线性常系数初值问题：

#![allow(unused)]
fn main() {
// y' - y = 0, y(0) = 1  =>  y = exp(x)
let sol = dsolve_ivp(&ctx, ode, ctx.num(1), None);
}

系统

dsolve_system 求解 2×2 常系数系统 $\mathbf{Y}' = A\mathbf{Y}$：

#![allow(unused)]
fn main() {
// y1' = y2, y2' = -y1（谐振子）
let sol = dsolve_system(&ctx, &[eq1, eq2], &[y1, y2], Symbol::new("x"));
// ODESolution::System([C1*sin(x) + C2*cos(x), C1*cos(x) - C2*sin(x)])
}

Python

import ocas

e = ocas.Expression("Derivative(y(x), x) - y(x)")
print(ocas.classify_ode(e, "y", "x"))     # ['LinearFirst', 'Separable', ...]
print(ocas.dsolve(e, "y", "x"))            # y = C1*exp(x)
print(ocas.dsolve_ivp(e, "y", "x", "1"))   # y = exp(x)

C

int err = 0;
char *types = ocas_ode_classify("Derivative(y(x), x) - y(x)", "y", "x", &err);
char *sol = ocas_ode_dsolve("Derivative(y(x), x) - y(x)", "y", "x", NULL, &err);
char *ivp = ocas_ode_dsolve_ivp("Derivative(y(x), x) - y(x)", "y", "x", "1", NULL, &err);
ocas_string_free(types);
ocas_string_free(sol);
ocas_string_free(ivp);

错误

线性求解器返回 Result<T, SolveError>；solve_diophantine 返回 Option<DiophantineSolution>（无解时为 None）；solve_polynomial_system 返回 PolynomialSystemSolution。常见错误变体：

错误含义
EmptySystem未提供方程
NonLinear系统对请求变量非线性
NonSquare方程数与未知数个数不匹配
Inconsistent无解
Underdetermined { rank }无穷多解
ResultNotInDomain解含分数但要求整数

参见